Canvis en l’espai:
Transformacions geomètriques

Carme Alemany Miralpeix
Amb la col·laboració de l’equip de mestres i dels alumnes del
CEIP “El Roure Gros” de Sta. Eulàlia de Riuprimer

El projecte que presento és, dins l’àrea de matemàtiques, en l’apartat de la geometria i l’estudi de les figures.
Es va portar a terme a l'escola “El Roure Gros” de Sta. Eulàlia de Riuprimer , en el curs 2003- 2004. “El Roure Gros” és un centre escolar públic que imparteix les etapes d’infantil i de primària i que en l’esmentat curs tenia 74 alumnes en total.
En aquesta escola, des de fa anys , treballem per mantenir-nos i tirar endavant en un projecte pedagògic que basa l’ensenyament- aprenentatge en la recerca i la descoberta, tant dels alumnes com dels mateixos mestres. Creiem que és fonamental mantenir l’interès i l’entusiasme dels alumnes i del mateix mestre vers els aprenentatges en general, i en particular de les matemàtiques. És necessari transmetre als nostres alumnes que les matemàtiques serveixen per desenvolupar-se millor en la vida quotidiana i en totes les situacions i que al mateix temps són l’instrument necessari per comprendre la ciència i la realitat.
Creiem que el procés per fer veritable l’aprenentatge matemàtic ha de seguir uns passos que considerem realment importants:
1. Ha de partir de l’observació, manipulació i experimentació en l’entorn proper.
2. Ha de permetre imaginar mentalment les observacions, manipulacions i experimentacions fetes.
3. Per poder-les representar gràficament, amb dibuixos o amb esquemes.
4. Posteriorment verbalitzar-les amb llenguatge oral.
5. I representar-les a través del llenguatge escrit.
Dins del procés d’aprenentatge també és molt interessant poder comptar amb el suport i l’ajut dels companys i companyes de classe, es tracta d’avançar de forma col·lectiva, partint dels errors i els encerts de tots i mantenint el diàleg i la confrontació d’experiències com una forma enriquidora d’anar endavant. Al mateix temps cal també la interiorització personal i el raonament individual per acabar d’assumir tot el que amb el grup s’ha anat descobrint. És doncs molt important deixar que es donin aquestes dues situacions a classe, el treball en grup i el treball individual.
Creiem que la mestra o el mestre ha de seguir molt de prop aquestes activitats dels alumnes per tal de servir-los de guia i de motor, és el primer element de consulta, però ha de deixar que ells trobin les respostes. De la implicació del mestre o la mestra en dependrà, en gran part, l’èxit de l’experiència.
Ens interessa molt ajudar a aprendre guiant i estimulant l’activitat creativa i descobridora dels alumnes, i aconseguir que tots els alumnes tinguin èxits, que evitin la desmoralització, augmentin l’autoestima i els encoratgin a seguir endavant, cal ajudar a aprendre a tots els alumnes.


MARC TEÒRIC


Les Transformacions són operacions geomètriques, canvis que es produeixen en la forma de les figures o en la seva posició en l’espai.

Tots coneixem l’existència de les transformacions o canvis físics: el moviment, la dilatació , els canvis de temperatura... També la de les transformacions o canvis químics, aquells en els que canvia la matèria i en resulta una substància nova. En el llenguatge de cada dia parlem de transformacions, diem que una persona ha canviat molt o que un edifici que ha estat restaurat ha quedat transformat. També la natura experimenta transformacions: una flor esdevé un fruit, una eruga es transforma en papallona i un cap-gros en granota o gripau.
En matemàtiques hi ha les transformacions numèriques que anomenem operacions. Són les que fan canviar els nombres i es representen per signes.
Totes les transformacions necessiten:
L’element inicial o situació que hi ha a l’inici.
El canvi que és una acció.
L’operador que és allò que realitza el canvi
L’element final o situació que hi ha en acabar el procés.

Les transformacions geomètriques són les que es produeixen en l’espai.
En elles:
L’element inicial és la figura que es transformarà en el procés.
El canvi, és l’acció que actua sobre la figura inicial.
Pot canviar :
1. La forma de les figures
2. La posició
3. Totes dues coses

L’operador és allò que realitza el canvi ( una màquina, un instrument).
L’element final és la figura o situació resultant del procés de canvi que ha sofert l’element inicial.
Cada transformació té la seva inversa.

Les transformacions geomètriques ens poden ajudar a conèixer millor les figures, de la mateixa manera que les transformacions numèriques ( les operacions) ens poden ajudar a conèixer millor els nombres.

TRANSFORMACIONS TOPOLÒGIQUES:

Les transformacions topològiques canvien la forma de les figures però en conserven les seves propietats bàsiques: línia oberta o tancada, ordre dels punts, interseccions...
Són transformacions topològiques: Les deformacions elàstiques.
Un cas especial de deformacions són els anamorfismes.

TRANSFORMACIONS MÈTRIQUES:

No canvien les propietats mètriques de les figures. No en canvien la forma, només la seva posició. Respecten les distàncies i els angles.
Es poden fer amb miralls, plegant paper, i amb regle compàs i escaire.
Entre les transformacions mètriques es troben:
Les translacions. La figura es trasllada en línia recta. La translació que s’efectua ve donada per un vector que en marca la direcció, el sentit i la longitud.
Els girs.La figura canvia de posició efectuant un gir de més o menys graus i en un sentit donat.
Una forma especial de gir és la d’aquelles figures que tenen centre i que en rodar una volta sencera coincideixen més d’una vegada amb la figura inicial.
Un cas encara més especial és el dels polígons regulars, que en girar una volta sencera coincideixen tantes vegades amb la figura inicial com costats o vèrtex tenen.
Les simetries. La figura queda orientada en sentit contrari i a igual distància de l’eix de simetria que la figura inicial.
Un cas especial de simetria és la d’aquelles figures que tenen un o més eixos de simetria. Són aquelles figures que tenen una forma especial, de tal manera que podem imaginar-nos una recta que les talla en dues meitats, una simètrica a l’altra. Aquesta recta és l’eix de simetria de la figura.
Un cas encara més especial és el dels polígons regulars, que tenen tants eixos de simetria com costats o vèrtex.

TRANSFORMACIONS PROJECTIVES

Són les que es deriven de les projeccions de les figures. Conserven les línies rectes, corbes... però no les distàncies ni l’amplitud dels angles.
Són transformacions projectives:
Les ombres. Un cas especial d’ombres són les que projecta la llum del Sol.
Les projeccions. Un cas especial de projeccions són les ampliacions i les reduccions.

Descobrir l’entorn, reconèixer formes i configuracions geomètriques i reconèixer les transformacions de les formes, és una conquesta important i suficient per les etapes d’Infantil i Cicle inicial de primària.

Aquesta descoberta ha de continuar en el Cicle Mitjà amb un treball més reflexiu, de noves relacions entre les figures conegudes, de descoberta de propietats i de comprensió lògica de les transformacions.

Finalment, al Cicle Superior, s’hauria d’arribar a un inici de generalització i sistematització dels coneixements que permeti establir categories de figures i deduir unes primeres lleis generals.

A finals de l’etapa de primària cal un coneixement de l’espai vivenciat i mínimament organitzat de forma racional i científica, base de la formació de conceptes i entrada a l’etapa del pensament abstracte.

DESENVOLUPAMENT DE L’ACTIVITAT

Les activitats que es descriuran varen ser realitzades de forma simultània en tots els cicles de l’escola. La seva duració va ser d’aproximadament quatre setmanes. Els alumnes s’agruparen generalment per cicles i els alumnes d’Educació Infantil treballaven tots junts.

L’entrada de l’escola estava ambientada en referència al treball. Hi havia: un calidoscopi gegant, un prisma triangular de miralls on els nens podien entrar i veure’s, un mirall circular d’aproximadament un metre d’alçada per 50 cm. de diàmetre. Tots aquests materials estaven a disposició dels nens i nenes, per poder investigar individualment o en grup, de forma organitzada o lliurement.


A les aules també disposàvem de materials diversos per la investigació: miralls de vidre (rígids), miralls flexibles, globus, trossos de goma (gorros de piscina), baldufes, petits miralls cilíndrics, mirall cilíndric gran, revistes, plastilina...

La metodologia es basava:
En la descoberta, tan individual com col·lectiva, tan organitzada com lliure.
En la reflexió individual o col·lectiva de tot el que s’anava descobrint.
En la posta en comú de les descobertes fetes.
En la concreció escrita de les conclusions.
En l’aplicació de les descobertes a l’estudi de les formes.
En la concreció d’aquest estudi en el treball gràfic o plàstic.
Vam introduir el tema a partir d’imatges de les obres de Dalí i el conte “El petit Dalí”. Moltes imatges de les obres de Dalí són figures deformades, transformades... diferents a la realitat.

Nosaltres també podem transformar imatges i figures, descobrir aquestes transformacions i les seves lleis i propietats.

Però quines maneres tenim per transformar figures? Com les podem canviar?
Les figures poden:
Deformar-se
Projectar-se
Girar
Fer-se simètriques
Traslladar-se

TREBALL AMB ELS ALUMNES D’EDUCACIÓ INFANTIL

Els alumnes d’educació infantil s’apropaven a l’estudi dels canvis en les formes a partir de jugar, observar i comunicar de forma oral o a través de dibuixos allò que havien vist. Alguns però varen arribar més lluny i es varen adonar dels factors que provocaven els canvis i com podien intervenir-hi.
Varen centrar principalment la seva investigació en les deformacions elàstiques, els jocs amb miralls i les ombres.
Per començar a investigar, ho vam fer a partir d’imatges del propi cos reflectides en miralls que es poden corbar. Ens vèiem molt diferents en la imatge del mirall corbat, de vegades més prims, de vegades més grassos, més alts més baixos...I els objectes com els vèiem? I les lletres?...Tot es deformava!
També podíem deformar figures fetes de plastilina. Les podíem aixafar, allargar, escurçar... I els dibuixos i les fotografies els podíem tallar i afegir-n’hi un tros, així els allargàvem, també els hi podíem canviar la forma. Com es transformaven!
Teníem un calidoscopi gegant on la imatge de la nostra cara, de la nostra mà, d’un objecte... quedava multiplicada moltes vegades o bé es transformava de tal manera que no la reconeixem: es veien triangles, estrelles, hexàgons...
Quins canvis més màgics!

I si posàvem un mirall pla davant d’una imatge, què passava? Sortia una figura igual però girada. També podíem pintar en una meitat d’un paper i plegar-lo, d’aquesta manera el dibuix es copiava en l’altra meitat però girat! El món al revés!
Però el que més va agradar als nens i nenes d’Educació infantil era veure’s en un mirall cilíndric. Vam agafar una làmina de mirall flexible, de PVC, d’un metre d’amplada per dos metres de llargada, i en vam fer un gran cilindre. El vam posar a l’entrada de l’escola i tots els nens i nenes podien anar a investigar què passava amb la seva imatge reflectida en el mirall cilíndric. Tots es varen adonar que el mirall canviava les formes, que les línies rectes es tornaven corbes... fins i tot un grup de nens i nenes es varen adonar com havia de ser la línia que calia posar davant d’aquest mirall perquè reflectís una línia recta. Ells deien que ja sabien com “enganyar el mirall”. Aquest mirall si que canvia molt les formes!
D’aquesta manera, d’una forma totalment vivencial, els alumnes d’Educació infantil de l’escola varen apropar-se al coneixement de les transformacions geomètriques.
Crec que, en aquest cas, les imatges poden ajudar molt a comprendre el seu treball:


 

 

 

 

 


“Investiguem amb el cos” “Investiguem amb objectes”



 

 

 

 

Investiguem amb els noms” “Investiguem amb el mirall cilíndric”

 

“Nosaltres també podem deformar imatges. “L’estrella s’ha eixamplat molt”
La pilota s’ha allargat molt!!!”

Així, junts, vam observar com es deformaven les imatges i vam jugar a fer deformacions.
També vam observar i jugar amb els girs i les ombres del nostre propi cos.

 

“Aquests cercles giren, i quan giren “A fora el pati, quan fa sol, podem podem veure colorsi formes diferents” fer formes estranyes amb les ombres.”


CICLE INICIAL DE PRIMÀRIA

A Cicle Inicial vam treballar les ombres, les deformacions, els girs i les simetries, amb més profunditat, per anar descobrint les propietats més evidents d’aquestes transformacions, sempre a partir de les seves pròpies investigacions i descobertes.
Calia anar encaminant les seves observacions per tal d’ajudar-los a descobrir.
El treball s’organitzava principalment en petits grups a fi que tots els nens i nenes participessin en la mesura que els era possible. Cada grup s’organitzava i trobava la manera d’anar anotant les seves descobertes de forma esquemàtica, per tal de poder-les comunicar als altres.
Deixàvem el temps necessari perquè els altres grups poguessin provar les experiències dels seus companys i companyes. Al final, entre tots, intentàvem arribar a conclusions concretes que es poguessin escriure de forma precisa i ordenada.

La intervenció del mestre o la mestra en tot aquest treball va de ser de suport i de guia, podia ajudar als alumnes a seguir quan quedaven aturats, suggerint, animant, donant pautes, però en cap cas havia de passar davant dels alumnes en el procés d’investigació.
A l’hora de concretar de forma escrita les conclusions de les observacions, si que vam creure convenient que el mestra o la mestra ajudés als alumnes a ordenar, concretar i utilitzar el vocabulari adequat. Les conclusions escrites havien de ser alhora correctes i entenedores pels nens i nenes que havien realitzat la investigació.

TRANSFORMACIONS PROJECTIVES: LES OMBRES

Els alumnes de cicle Inicial van treballar molt a fons les ombres que provoca el Sol en el pati de l’escola, ho van anar fent al llarg del curs i es van adonar com al llarg del dia les ombres dels mateixos objectes canviaven de forma, de mida i de direcció. També canviaven molt al llarg d’un any.

L’ombra de l’arbre al llarg del dia canvia de posició.

Es van adonar que les ombres dels objectes depenen de la forma del mateix objecte i del lloc on es troba la font de llum que les provoca. Com més alt està el Sol més curtes són les ombres, com més a l’horitzó està el Sol, més llargues es veuen les ombres.
Vam posar un gnòmon al pati de l’escola. Un gnòmon és un pal clavat al terra que serveix per poder observar els canvis que el produeixen en la seva ombra al llarg del dia i de l’any.
Els nens i les nenes de Cicle inicial van resseguir les ombres del gnómon sobre un gran paper d’embalar. Ho varen fer al llarg d’un dia del mes de març i varen treure conclusions del que van observar:

Les ombres que provoca el Sol sempre estan en direcció contrària a la seva posició.
Les ombres de les 9:25, de les 10:20 i de les 5 de la tarda són les més llargues perquè el Sol ens toca de costat, està més baix.
L’ombra de la 1:30 és la més curta perquè el Sol està més a sobre nostre, està més alt.
Les ombres de la 1:30 i les 2:20 són molt semblants perquè el Sol no ha canviat gaire de posició

Varen tornar a repetir l’experiència al mes de Maig i varen treure’n conclusions:

 

L’ombra més curta ara és a les 2:20.
Les ombres de les 9:20 i de les 6:25 estàn oposades perquè el Sol està en cantons oposats.

 

Finalment comparen les ombres dels dos mesos i en treuen les següents conclusions:


Totes les ombres del mes de maig són més curtes que les del mes de març. Això vol dir que el mes de maig el Sol està més alt.
Els dies del mes de maig són més llargs perquè el Sol fa un recorregut més llarg en el cel.

També vam projectar les ombres dels mateixos nens i nenes en una pantalla vertical i vam fer ombres xineses. Es vam adonar que com més a prop del focus de llum es col·locaven, més grans eren les seves ombres i com més lluny més petites. Les ombres, doncs, transformaven la seva imatge.
Vam retallar polígons de cartolina (quadrats, pentàgons, hexàgons...polígons coneguts pels nens) . Amb l’ajut d’un focus vam projectar les seves ombres sobre un paper d’embalar i la resseguíem. Ens vam adonar que cada polígon originava ombres de polígons que tenien el mateix nombre de costats. Les ombres, doncs, ens ajuden a classificar els polígons per famílies. Podem fer així una primera classificació.

TRANSFORMACIONS TOPOLÒGIQUES: LES DEFORMACIONS ELÀSTIQUES.

Vam fer dibuixos amb retoladors permanents, sobre la superfície de globus desinflats i després els inflàvem. Ens adonàvem que els dibuixos canviaven la forma, com més inflat estava el globus més gran i deformat quedava el dibuix. Si a mes els globus tenien formes no del tot esfèriques ens adonàvem com els dibuixos encara es deformaven més.
També vam tallar “gorros” de goma, dels d’anar a la piscina, de manera que quedessin superfícies planes. Sobre aquestes superfícies, els nens i les nenes hi feien dibuixos i llavors estiraven per una banda i l’altre i veien com els seus dibuixos s’anaven deformant.
De vegades les figures s’allarguen, algunes línies s’escurçaven, algunes rectes es tornaven corbes, d’altres línies que en principi eren corbes ara semblaven rectes...però en deixar d’estirar, o en desinflar el globus els dibuixos tornaven a la seva forma inicial.

Vam ajudar als alumnes a adonar-se que, en fer una deformació elàstica , el dibuix continua tenint el mateix nombre de punts d’intersecció, el mateix nombre de segments i el mateix nombre de regions.
Vam provar també què passava quan ens posem davant del mirall cilíndric. Les formes reflectides en aquest mirall canvien molt, es deformen. Els alumnes comentaven les seves observacions:

 


“Si et poses dret davant del mirall t’estires molt, si et poses estirat t’escurces”

 

“Les rodones semblen ous i les elípses rodones”.

LES TRANSFORMACIONS MÈTRIQUES: LA SIMETRIA.

Què passa quan posem un sol mirall pla davant d’una figura?



“Hem descobert que en el mirall hi veiem la figura simètrica”.
“La figura simètrica és igual que la inicial però girada”.
 

 


“Si posem una paraula davant del mirall, surt al revés”.

“Hi ha figures que són simètriques, que si hi poses un mirall al mig, en el mirall hi veiem l’altra meitat, com aquesta fulla”.

 


Vam jugar amb el calidoscopi i els miralls

Vam anar posant objectes diferents davant el calidoscopi de l’entrada de l’escola i ens sortien formes molt boniques: estrelles, hexàgons...

 

 

 

 

 

ELS GIRS

Girant és la millor manera de conèixer les coses i el nostre entorn. Podem girar sobre nosaltres mateixos per conèixer el que hi ha al nostre voltant i podem girar al voltant dels objectes per tal de reconèixer-los des de tots els punts de vista. Amb els alumnes de cicle inicial vam fer les dues experiències i en vam treure’n conclusions.


GIRAR AL VOLTANT D’UN MATEIX

“Per fer un quart de volta o mitja volta només cal que girem el cap”.
“Si fas mig quart de volta veus el mateix i altres coses”.
“Si fem una volta sencera acabem veient el mateix”
“Si miro cap a un lloc i dono la volta, ho torno a veure”.
“Girem al voltant nostre, mirem cap al carrer Balmes i veiem les muntanyes, els cables d’electricitat i tot; girem un quart de volta cap a l’esquerra i veiem el cole; girem un quart de volta cap a l’esquerra i veiem el pati de la guarderia i el Soler; tornem a girar un quart de volta cap a l’esquerra i veiem el campanar”.

GIRAR AL VOLTANT DELS OBJECTES

“Hem sortit al pati, hem posat una taula gairebé al mig del pati i a sobre la taula hi havia 9 cubs i un carro de la compra. Quan giràvem al voltant, de vegades vèiem els cubs i de vegades no”.
“Si et poses davant del carro i fas mitja volta, veus el darrera”.
“En donar la volta no es veu sempre el mateix”
“Hi ha una cosa, fem una volta i la tornem a veure”
“Si estem a un cantó no veiem l’altre fins que hi donem la volta”

CICLE MITJÀ DE PRIMÀRIA

Amb els alumnes del Cicle Mitjà de Primària vàrem repassar les deformacions elàstiques i les ombres però vàrem centrar principalment l’atenció en l’aprofundiment de l’estudi de la simetria i del gir i en la descoberta dels anamorfismes com a casos especials de deformacions.
Començàrem parlant sobre la simetria. Tots recordaven què són figures simètriques i quines figures tenen en elles mateixes simetries. Vam buscar imatges en revistes i altres materials gràfics, eren molt curosos a l’hora de donar una imatge com a simètrica, es fixaven molt en si tenen lletres que no es reproduïen en la part simètrica de la figura, si una part era d’un color i l’altre d’un altre... aquest treball els va resultar molt motivador.
Vam buscar lletres que posant-hi un mirall a sobre, entre la imatge del mirall i la del seu davant en donessin una altra o bé ella mateixa.
Vam composar paraules amb trossos de lletres i les enganxàvem en un full, davant d’una línia recta que feia d’eix i on hi posàvem el mirall per veure la paraula sencera.
Escrivíem paraules o frases davant del mirall de manera que es llegissin bé en el mirall i no mirant només el paper. D’aquesta manera buscàvem la imatge simètrica de la paraula o frase.
Vam plantejar-nos anar una mica més lluny i analitzar la simetria en els polígons.
Vam repartir polígons de cartolina, retallats, i vam proposar diferents observacions i investigacions:


 

1. Posar un mirall en un dels costats d’un polígon i formar-ne de nous.
Els polígons formats, tenen igual nombre de costats que els que els originen?
Tenen igual forma?
Quina relació hi ha entre les seves superfícies?

2. Buscar eixos de simetria de diferents figures. Classificar les figures segons si tenen, o no, eix o eixos de simetria.
Quants eixos de simetria tenen les figures regulars? Té alguna relació amb el número de costats?
Hi ha alguna figura que tingui moltíssims eixos?
3.Agrupar les figures que tenen un sol eix de simetria .
Com són aquestes figures? (Introducció del concepte de polígon Isòsceles).
Comparar cada polígon regular amb un polígon del mateix nombre de costats que tingui només dos eixos. Què hi trobem?
A partir de tot el que anaven verbalitzant vam procurar escriure conclusions força generals en les que tots hi estiguéssim d’acord. Així podíem concretar les descobertes.

Descobertes sobre la Simetria:
Un eix de simetria és una recta que parteix una figura plana en dues parts que tenen igual forma i superfícies iguals.

  • Hi ha figures que tenen eixos de simetria i n’hi ha que no.
  • Perquè un polígon pugui tenir eix de simetria ha de tenir algun costat igual. Els polígons que tenen tots els costats diferents no tenen eix de simetria.
  • Els polígons que tenen tots els costats iguals i tots els angles iguals s’anomenen polígons regulars. Els polígons regulars tenen el mateix nombre de costats que d’eixos de simetria.
  • La figura simètrica està col·locada al revés de la figura inicial, els únics punts que estan en el mateix lloc són els de l’eix de simetria.
  • El cercle és la figura amb més eixos de simetria.
  • Els polígons que només tenen un sol eix de simetria s’anomenen isòsceles

 

HEM OBSERVAT JUGANT AMB DOS MIRALLS

Jugàvem amb dos miralls units formant angle recte i ens vam adonar que si posàvem entre els miralls una composició formant un dibuix, en els miralls ens quedava reproduïda quatre vegades. També podíem veure quines figures es podien fer composant-ne una quarta part davant els miralls i quines era impossible de reproduir perquè no tenien dos eixos de simetria perpendiculars.
Mentre anaven jugant alguns s’adonaren que si tancaven més els miralls les figures es reproduïen mes vegades.

 

  • Amb dos miralls units per un costat formant un angle de 90º, si hi poses una cosa al davant, surten quatre figures iguals.
  • Si poses els miralls formant un angle de mitja volta, 180º, et surt el doble de la figura que hi posis davant.
  • Si poses qualsevol cosa davant d’aquests miralls pots fer moltes formes divertides i diferents, depèn de la manera com ho posis.
  • Posant l’angle de miralls a 35º i un rombe a dins fa una estrella “arrodonida”.
  • Posant l’angle dels miralls a 70º i una rodona a dins, es forma una flor.
  • Posant l’angle de miralls a 90º, si hi posem un pal al davant, que els seus extrems toquin als dos miralls, podem veure un quadrat o un rombe.
  • Amb 120º veiem un triangle
  • Amb 72º veiem un pentàgon
  • Amb 60º veiem un hexàgon
  • Amb 45º veiem un octògon
  • Amb 36º veiem un decàgon
  • Amb 30º veiem un dodecàgon
  • Amb 20º veiem un polígon regular de 18 costats
  • Amb 10º veiem un polígon regular de 36 costats...
  • Quan més obres l’angle que formen els dos miralls, menys costats té la figura que es forma.

ELS GIRS

Hem estat treballant els girs a partir de l’estudi de les baldufes. A classe teníem força baldufes de formes diferents i cada nen o nena en triava una i l’estudiava.


“Les baldufes tenen formes diferents però quan giren totes es veuen circulars”

 


La forma i el material de què estan fetes les baldufes condicionen força el temps que triguen girant.
Aquesta baldufa és la que gira més estona, amb molta diferència de les altres. És de metall i molt baixa i ampla.

 

 

 

 

 

 

 


INVESTIGUEM AMB EL MIRALL CILÍNDRIC, ELS ANAMORFISMES.

Els nens i nenes de Cicle mitjà i Superior, conjuntament, van analitzar què passava amb les imatges reflectides en un mirall cilíndric.

Quan davant d’un mirall cilíndric hi fèiem una línia recta horitzontal, en el mirall hi veiem una línia corba paral·lela a la base del mirall. La línia recta s’havia deformat i ara és veia corba.
Vam anar provant i ens vam adonar que si fèiem la deformació inversa, en el mirall ens sortia la imatge inicial, la línia corba es transformava en línia recta.

 

Si davant del mirall hi fèiem línies rectes, verticals i paral·leles, en el mirall no es veien ni rectes ni paral·leles.
Vam anar provant com teníem de fer les línies davant del mirall perquè en el mirall sortissin verticals, rectes i paral·leles. Ens vam adonar que si fèiem línies que partissin del centre de la base del cilindre, com prolongacions dels seus radis, en el mirall es veien línies verticals, rectes i paral·leles.


A partir del que havíem descobert ja podíem fer una quadrícula que sortís recte en el mirall.
 

Vam dibuixar en un gran paper la quadrícula corbada perquè es veiés bé en el mirall cilíndric.
I vam fer un dibuix seguint les línies de la quadrícula.


 

Havíem aconseguit dibuixar una casa deformada que en el mirall cilíndric es veiés bé.
Havíem aconseguit fer un anamorfísme.
Així doncs tots els alumnes de Cicle Mitjà i Superior vam poder crear el nostre propi anamorfísme.

 

 

 


CICLE SUPERIOR DE PRIMÀRIA

Amb els nens i nenes de Cicle Superior de primària, a més d’investigar el cas concret de deformació que provoca el mirall cilíndric i la realització d’anamorfísmes, vam aprofundir en l’estudi de la simetria per tal de descobrir les lleis elementals que la regeixen.

REPASSEM LES SIMETRIES EN EL PLA:

Amb l’ajut del material (miralls, figures, regles escaires...) vam investigar i reflexionar sobre els següents punts que servien de guió:

1. Quins són els punts del pla que ,en fer la simetria, no canvien de posició?
2. Com són les distàncies de qualsevol punt i del seu simètric fins a l’eix?
3. Si vols tornar a la figura inicial, quina simetria hauràs de fer?
4. Si fem una mateixa simetria dues vegades seguides què passa?
5. Quan fem una simetria, canvien les mides de la figura? I la seva posició?
6. Les figures planes poden tenir eixos de simetria. Troba figures planes que tinguin eixos de simetria.
7. Les figures que tenen un sol eix de simetria s’anomenen... per saber-ho busca un triangle amb un sol eix de simetria.
8. Els polígons regulars tenen eixos de simetria i compleixen una llei especial. La saps trobar? I el cercle quina llei especial compleix?
9. Pensa en una bisectriu, és l’eix de simetria de...
Pensa en una mediatriu, és l’eix de simetria de...
Totes les descobertes que fèiem les escrivíem en forma de llei, el més concret i precís que podíem. En aquest moment era necessari l’ajut de la mestra, calia que els alumnes s’adonessin que un text científic no admet la imprecisió.



Composem polígons a partir de triangles isòsceles
Vam Intentar de composar polígons regulars a partir de triangles isòsceles, posant l’angle diferent ajustat a l’obertura dels miralls, per tant en el centre del polígon.
A mida d’anar-ho provant els alumnes es van adonar que només alguns d’aquests triangles podien composar polígons regulars. Eren aquells que el seu angle diferent era de 90º, 72º, 45º, 30º...
Vam fer una taula que ens ajudés a descobrir més coses sobre aquests triangles i les figures regulars resultants:
Angle d’obertura
Figura obtinguda
Resultat
90º
Quadrat
90º x 4 = 360º
72º
Pentàgon
72º x 5 = 360º
60º
Hexàgon
60º x 6 = 360º
45º
Octàgon
45º x 8 = 360º
30º
Dodecàgon
30 x 12 = 360º
Els alumnes es varen adonar que multiplicant el nombre de graus de l’angle diferent del triangle isòsceles que col·locàvem davant del mirall, pel nombre vegades que aquest quedava reproduït en els miralls, havia de donar 360º. O sigui que la suma dels angles centrals del polígon havien de donar 360º, una volta sencera. I que, per tant per poder formar un polígon regular, el valor de l’angle central havia de ser un divisor de 360.
Això ens va portar a poder parlar dels diferents angles dels polígons: angle central, angle interior i angle exterior.

I vàrem poder arribar a unes conclusions que vam escriure en forma de llei:

  • L’angle central d’un polígon és aquell que es forma en unir el punt del centre del polígon amb dos dels vèrtex consecutius del mateix polígon.
  • La suma dels angles centrals de qualsevol polígon és de 360º.
  • Perquè un polígon sigui regular ha de tenir els angles centrals iguals. Per tant 360º dividit pel nombre de costats ens donarà el valor de l’angle central d’un polígon regular.
  • L’angle exterior d’un polígon és el format per la prolongació d’un costat del polígon i el costat consecutiu.
  • L’angle interior d’un polígon és el format per dos costats consecutius del polígon i que queda en l’interior del mateix.
  • La suma d’un angle interior i un d’exterior del mateix polígon és de 180º
  • Sabent quan val l’angle central d’un polígon regular podem saber el nombre de costats que té i el nombre de triangles que es formen.
  • A partir d’aquí podem calcular quan valdran els angles interiors i exteriors del mateix polígon.
  • Els angles centrals d’un polígon regular són més grans quan disminueix el nombre de costats. Els angles centrals d’un hexàgon valen 60º i els d’un quadrat 90º.
  • Els angles interiors d’un polígon regular són més grans quan més costats té el polígon. Els angles interiors d’un quadrat valen 90º i els d’un hexàgon 120º.
  • La bisectriu d’un angle és el seu eix de simetria.
  • La mediatriu d’un segment és el seu eix de simetria-

INVESTIGUEM ELS GIRS

Girs en el pla:
Primerament vam analitzar què necessitàvem per fer girar una figura, l’element inicial de la transformació. Vam veure que per fer girar una figura necessitàvem:
Un centre, que és un punt fix. El centre de gir es pot trobar a l’interior de la figura o a l’exterior
Un angle, per saber quan hem de girar.
Un sentit, que pot ser cap a la dreta o cap a l’esquerra.
Després vam analitzar quina era la seva aplicació al estudi de les figures.

 

Al voltant d’un punt exterior Al voltant d’un punt interior

Vam investigar sobre els girs de les figures planes, amb l’ajut de material i a partir del següent guió:

1. Hi ha algun punt del pla que en fer el gir no canvia de posició?( es refereix als de la figura).
2. Com podries fer el gir invers, és a dir el que fa tornar a la figura inicial?
3. Què passa amb qualsevol figura quan gira 360º?
4. Si repetim el mateix gir diverses vegades, podem tornar a la figura inicial?
5. Quan fem un gir, canvien les mides de la figura? I la seva posició?
6. Quina figura resulta si fem girar un punt a l’entorn d’un altre punt fix una volta sencera?
7. Quina figura resulta si fem girar un segment recte a l’entorn d’un dels extrems una volta sencera?
8. Hi ha figures que tenen centre. Troba algunes figures que tenen centre i explica com ho saps.
9. Els polígons regulars tenen centre i compleixen una llei especial. La saps trobar? I el cercle quina llei especial compleix?

 


 

 

 

 

 


Aplicació a l’estudi de les figures planes:

  • Si fem girar una volta sencera, un punt a l’entorn d’un altre punt fix dibuixem una circumferència.
  • Si fem girar una volta sencera un extrem d’un segment recte a l’entorn de l’altre extrem dibuixem un cercle.
  • Algunes figures, en girar-les una volta sencera a l’entorn d’un punt especial, coincideixen més d’una vegada amb la seva posició inicial. Llavors aquest punt es diu també centre de la figura. Altres figures planes, que són la majoria, no tenen centre, perquè no els passa això.
  • Els paral·lelograms són quadrilàters que tenen centre.
  • Els polígons regulars, en girar 360º, coincideixen tantes vegades com costats tenen.
  • El cercle és l’única figura que en girar sobre el seu centre coincideix infinites vegades. És tan particular respecte a l’operació de girar perquè tot ell es fa girant. Per això es dibuixa amb un compàs.
  • Hi ha cossos que s’anomenen de revolució perquè s’originen en girar una figura plana al voltant d’un dels seus costats. Per exemple el cilindre que s’origina en girar un quadrat o un rectangle, el con que s’origina en girar un triangle rectangle, l’esfera que s’origina en girar un semicercle al voltant del seu diàmetre.

INVESTIGUEM LES TRANSLACIONS:

Primerament vam analitzar com es fa i què necessitem per fer la translació d’una figura plana.
Tant en el pla com en l’espai, traslladar un cos vol dir desplaçar-lo en línia recta, segons un sentit i una longitud. Això s’expressa amb una fletxa que es diu vector.
L’element inicial
és la figura que volem traslladar.


El vector, que és una fletxa que indica la direcció , el sentit i la longitud de la translació.

Després, com en el cas de les simetries i dels girs, vam investigar les propietats de les translacions a partir del següent guió:
1. Hi ha algun punt del pla o de l’espai que no canvia de posició?
2. Com és el vector que necessitaríem per tornar a la posició inicial?
3. Repetint diverses vegades la mateixa translació, tornaríem a la posició inicial?
4. En fer la translació canvien les mides de la figura? I la seva posició?


 

 

Aplicació a l’estudi de les figures:
Els paral·lelograms poden obtenir-se fent una translació d’un costat (com si el vector estigués situat en el costat veí).
Els prismes poden obtenir-se fent una translació de la base (el vector fora l’aresta lateral).
Els cilindres també poden obtenir-se traslladant el cercle de la base.

CONGRÉS DE CIÈNCIA

El 14 de Maig de 2004, a la Universitat de Vic, es va portar a terme el “II Congrés de Ciència per Infants”.
En aquest congrés hi varen participar un total de sis escoles. Grups d’alumnes d’aquestes escoles donaren a conèixer als seus companys i companyes treballs d’investigació que havien portat a terme a l’escola. Els alumnes del CEIP “El Roure Gros” varen presentar el seu treball sobre transformacions geomètriques.
Els ponents de la comunicació van ser alumnes des de P-3 fins a 6è, en total uns 20 nens i nenes que parlaren davant d’un auditori d’aproximadament 300 persones entre nens, nenes, mestres, estudiants de magisteri i professors d’Universitat.
L’experiència crec que va ser un èxit i tan alumnes com professors estem disposats a participar en el “III Congrés de Ciència per Infants” que es realitzarà a finals d’aquest curs.

CITES I AGRAIMENTS:

Podria fer un llistat de bibliografia que parlés sobre les transformacions geomètriques i la didàctica específica de les matemàtiques, però mentiria si digués que l’he consultada.
En realitat, tan el marc teòric com l’enfóc didàctic que m’han portat a realitzar aquest treball els dec al gran mestratge de Mª Antònia Canals. Des de fa temps li demano orientació i ajut i sempre me’l ha donat en escreix, com em consta que el dona a tot aquell que se li acosta i li demana.
També val a dir que gràcies a ella formo part del grup “Perímetre” de Girona, i del grup “Asimètric” de Manresa, on he trobat companys i companyes amb qui compartir experiències que m’han enriquit molt.
Aquest treball també ha estat possible gràcies a tot l’equip de l’escola:
Montserrat Tió, Andreu Cardo, Marisa Puntí, Balbina Tantiñà i Eva Gloria Millan, que sempre emprenen amb il·lusió les noves propostes i saben encomanar-la als seus alumnes. Sense la seva col·laboració no s’hagués pogut portar a terme en tots els nivells.
I no em descuidaré els principals protagonistes: tots els nens i nenes de l’escola que, a més d’aprendre, he de dir que sempre m’ensenyen molt.